TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la

 suma de los cuadrados de los catetos".

Pitágoras de Samos

                                             

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

* DEMOSTRACIÓN DE TEOREMA DE PITÁGORAS:

Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras. A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad a2 + b2 = c2

TEOREMA DE TALES DE MILETO

Existen dos teoremas en relación a la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

                                            

Según parece, Tales descubrió los teoremas mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el  corolario.

- Corolario: La existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. 

- EJERCICIOS

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.

                          

2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

                            

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

Una aplicación inmediata de este teorema sería la división de un segmento en partes iguales, o en partes proporcionales a números dados

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. 

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices. 

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico. 

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C,... 
Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices. 
Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos:AB, BC y AC. 
Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: a para BC, b para AC, c paraAB. 
La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es  
También es posible utilizar una letra minúscula -habitualmente una letra griega- coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en el ejemplo se pueden observar los ángulos: 
 

Postulados de congruencia 

TriánguloPostulados de congruencia:

Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida. 

Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos). 

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo. 

TRIANGULOS 

Triángulos Escálenos: No tienen ningún lado igual. 

 

Triángulos Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales. 

 

Triángulos Equiláteros: Son los que tienen tres lados iguales. 

 

1. Clasificación de los triángulos por sus ángulos, definir cada uno y sus gráficos. 

Acutángulos: Son todos los triángulos con todos los ángulos menores de 90°. 

Rectángulos: Es cuando uno de sus ángulos es de 90°. 

Obtusángulos: Es cuando uno de sus ángulos es mayor de 90°. 

ANGULOS

¿Qué es un ángulo y su notación? 

Son dos rayos cualesquiera que determinan dos regiones del plano. 

Su notación: Para nombrar los ángulos, utilizaremos los símbolos <abc y <xyz. Podemos además nombrarlos mediante una letra griega o con un numero que se coloca dentro del ángulo. También se puede nombrar por la letra que represente al vértice. 
# 

¿Cómo pueden ser los ángulos? Definir cada uno. 

Nulos: Si su medida es Cero. 

Ej. 

Agudos: Si su medida esta comprendida entre 0° y 90°. 

Ej. 

Rectos: si su medida es 90°. 

Ej. 

Obtusos: Si su medida esta comprendida entre 90° y 180°. 

Ej. 

Llanos: Si su medida es 180°. 

Ej. 

# 

¿Cuál es el instrumento para medir un ángulo y en que consiste? El transportador en el cual consiste en un semicírculo dividido en unidades que van desde 0 hasta 180. Cada una de estas medidas es un grado (1°) sexagesimal y todas las medidas que se tomen con este instrumento corresponden al sistema sexagesimal. 
# 

Operaciones con ángulos. (suma y resta) 

o 

Suma de Ángulos 

La suma de dos Angulo, <ABC y <DBE es otro ángulo <ABE tal que: m <ABE = m <ABC + m <DBE. 

Ej. 

Un ángulo mide 49° 38´45” y otro 31° 54´18”. ¿Cuánto mide la suma de estos ángulos? 

49° 38´ 45” 

31° 54´ 18” 

La suma buscada es 81° 33' 3”. 

* 

Resta de Ángulos 

La resta de un ángulo, <MBN, de otro <ABC de mayor medida, es otro ángulo, <NBC, tal que: m <NBC = m <ABC - m <MBN. 

Ej. 

Un ángulo mide 50° 17' 33” y otro 25° 35' 14”. ¿Cuánto mide la diferencia de estos ángulos? 

50° 17' 33” 

- 25° 35' 14” 

La diferencia buscada es de 24° 42' 19”. 
# 

¿Qué es la medida de un ángulo? 

Es el numero de grados que hay en dicho ángulo. 
# 

¿Qué es la bisectriz de un ángulo y como se halla? Su gráfico. Es el rayo que lo divide en dos ángulos de igual medida. 
# 

Clases de ángulos en termino de sus medidas y definir cada uno. 

Par Lineal: 

Es cuando dos ángulos son consecutivos y los lados no comunes son dos rayos opuestos. 

Ángulos Suplementarios: 

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°. 

Ángulos Rectos: 

Si los dos ángulos que forman un Par Lineal, tienen la misma medida, entonces cada uno de esos ángulos es recto. 

Ángulos Complementarios: 

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°. 

Ángulo Agudo: 

Es el ángulo cuya medida es un número mayor que 0 y menor que 90°. 

Ángulo Obtuso: 

Es el ángulo cuya medida es un numero mayor que 90° y menor que 180°. 
# 

¿Qué son ángulos congruentes? 

Es cuando dos ángulos tienen la misma medida y su símbolo es: ". 
# 

¿Qué son ángulos opuesto por el vértice? (gráfico) Ej. 

Dos ángulos son opuesto por el vértice si sus lados forman dos pares de rayos opuestos. 

Ej. 

c b 

1 2 

0 

a d 

10. Clasificación de los triángulos por sus lados, definir cada uno y sus gráficas. 

TEOREMA DE RECTAS PARALELAS

- ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son dos ángulos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal.

- ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son dos ángulos exteriores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal.

- ANGULOS CORRESPONDIENTES: Los angulos correspondientes estan en el mismo lado de la transversal. Uno de los angulos es un angulo exterior, el otro es un angulo interior.

TEOREMAS

1. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

2. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

3. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas. correspondientes

4. Si dos rectas se cortan por una transversal, y un par de ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

5. Dadas las rectas p,q y r, si p ll q y q ll r, entonces p ll r.

6. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

7. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos exteriores son congruentes.

8. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos son congruentes.

9. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios. 

MATEMÁTICAS A TRAVES DEL TIEMPO

MATEMÁTICAS A TRAVES DEL TIEMPO 

Matemática o Matemáticas, es el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

En el pasado la matemática era considerada como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra).

Hacia mediados del siglo XIX la matemática se empezó a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

                        

MATEMÁTICOS MAS IMPORTANTES;